• Si M=N, il existe un terme Z tel que M :=Z et N:=Z.

• Démonstration : si M=N, il existe une suite M₀,…,M_k telle que M ≡ M₀ :=: M₁ :=: … :=: M_k ≡ N

  Puis on démontre que si k>2, il existe une telle suite de longueur strictement inférieure à k.

En itérant ce procédé, on trouve une suite de longueur au plus 2.

1. M ≡M₀ := M₁ := M₂ :=: M₃ :=: … :=: M_k ≡ N
    de M₀:= M₁et M₁:= M₂, on déduit par (tr) que M₀:= M₂, donc:
    M ≡M₀:= M₂:=: M₃:=: … :=: M_k ≡N

2. M ≡M₀:= M₁=: M₂:= M:=: … :=: M_k ≡ N
    de M₁=: M₂:= M₃, on déduit par le lemme C-R M₁:= Z =: M₃, donc:
    M ≡M₀:= M₁:= Z =: M₃:=: … :=: M_k ≡N
    de M₀:= M₁et M₁:= Z, on déduit par (tr) que M₀:= Z, donc:
    M ≡M₀:= Z =: M₃:=: … :=: M_k ≡N

3. M ≡M₀:= M₁=: M₂=: M₃:=: … :=: M_k ≡N
    de M₁=: M₂et M₂=: M₃, on déduit par (tr) que M₁=: M₃, donc:
    M ≡M₀:= M₁=: M₃:=: … :=: M_k ≡ N

4. M ≡ M₀: M₁=: M₂:=: M₃:=: … :=: M_k ≡N
    de M₀=: M₁et M₁=: M₂, on déduit par (tr) que M₀=: M₂, donc:
    M ≡ M₀=: M₂:=: M₃:=: … :=: M_k ≡N

5. M ≡ M₀: M₁=: M₂:=: M₃:=: … :=: M_k ≡N
    de M₁=: M₂et M₂=: M₃, on déduit par (tr) que M₁=: M₃, donc:
    M ≡M₀=: M₁:=: M₃:=: … :=: M_k ≡N

6. M ≡ M₀: M₁=: M₂:=: M₃:=: … :=: M_k ≡N
    de M₀=: M₁=:M₂, on déduit par le lemme C-R M₀=:Z=: M₂, donc:
    M ≡M₀=:Z=: M₂:=: M₃:=: … :=: M_k ≡N
    de Z =:M₂et M₂=: M₃, on déduit par (tr) que Z =: M₃, donc:
    M ≡M₀:= Z =: M₃:=: … :=: M_k ≡N